音響パワー最適化法

Author: Shun Suzuki

Date: 2024-01-09

NOTE: この手法は現在SDKでは実装されていない.

実際の応用上は, 音圧よりも音圧の二乗, すなわちパワーが重要である. そこで, 長谷川らはこれを最適化する手法を提案した¹. すなわち, この方法では, 以下の最適化を考える. $$\begin{array}{r}\min \sum _i{\left[|(G\mathbf{q}{)}_i{|}^2-|p_i{|}^2\right]}^2\end{array}$$ この場合は, 制御点の位相成分を最適化する必要はない.

さて, $(i,i)$成分のみ$1$であり, ほかは$0$である行列を$D_i$と表すと, $$\begin{array}{r}|(G\mathbf{q}{)}_i{|}^2=\mathbf{q}{}^{†}G{}^{†}{D}_{i}G\mathbf{q}\end{array}$$ である. 論文 ¹では, Tikhonov正則化を採用し, 以下の目的関数$J(\mathbf{q})$の最適化をBroyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno (BFGS) 法²により行っている. $$\begin{array}{rl}J(\mathbf{q})& =\sum _i{\left[|\mathbf{q}{}^{†}{R}_i\mathbf{q}-|p_i{|}^2\right]}^2+\lambda (\mathbf{q}{}^{†}\mathbf{q}),\\ R_i& =G{}^{†}{D}_{i}G\end{array}$$

なお, 論文 ¹では初期値は, $$\begin{array}{r}{\mathbf{q}}_0=(G{}^{†}G+\lambda I{)}^{-1}G{}^{†}\mathbf{p}\end{array}$$ としている. ただし, $\mathbf{p}$の位相はすべて$0$である.