PWMと超音波の出力

Author: Shun Suzuki

Date: 2024-01-05

まず, 周期が$T$であり, 時間$t$に対する電圧$V(t)$が $$V(t)=\{\begin{array}{ll}V& (P-\frac{D}{2}\le t<P+\frac{D}{2})\\ 0& (\text{otherwise})\end{array},$$ で与えられるPWM信号を考える.

この信号のフーリエ展開は $$\begin{array}{rl}\frac{1}{T}{\int }_0^T\mathrm{d}tV(t){\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}n\frac{t}{T}}& =\frac{1}{T}V{\int }_{P-\frac{D}{2}}^{P+\frac{D}{2}}\mathrm{d}t{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}n\frac{t}{T}}\\ & =\frac{1}{T}V\left(-\frac{T}{2\pi \mathrm{i}n}{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}n\frac{1}{T}(P+\frac{D}{2})}+\frac{T}{2\pi \mathrm{i}n}{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}n\frac{1}{T}(P-\frac{D}{2})}\right)\\ & =\frac{V}{2\pi \mathrm{i}n}\left({\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}n\frac{D}{2T}}-{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}n\frac{D}{2T}}\right){\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}n\frac{P}{T}}\\ & =\frac{V}{\pi n}\sin \left(\pi n\frac{D}{T}\right){\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}n\frac{P}{2T}}\end{array}$$ から $$\begin{array}{rl}V(t)& =\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{V}{\pi n}\sin \left(\pi n\frac{D}{T}\right){\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}n\frac{P}{T}}{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}n\frac{t}{T}}\\ & =\frac{V}{T}D+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2V}{\pi n}\sin \left(\pi n\frac{D}{T}\right)\cos \left(\frac{2\pi n}{T}t-2\pi n\frac{P}{T}\right)\end{array}$$ となる.

周波数$f=1/T$の振動子が十分高い$Q$値を持つとすると¹, 周波数$f=1/T$の成分だけが取り出され, 超音波として放出される. PWM信号の周波数$f=1/T$の成分は, $$\begin{array}{r}\frac{2V}{\pi }\sin \left(\pi \frac{D}{T}\right)\cos \left(\frac{2\pi }{T}t-2\pi \frac{P}{T}\right)\end{array}$$ であるため, PWM信号のパタメータ$P,D$と放出される超音波の振幅$A$と位相$\varphi$の関係式は $$\begin{array}{rl}A& \propto V\sin \left(\pi \frac{D}{T}\right)\\ \varphi & =2\pi \frac{P}{T}\end{array}$$ と表される. すなわち, パラメータ$P,D$により, それぞれ位相と振幅を制御できる.