逆フーリエ変換

Author: Shun Suzuki

Date: 2024-01-09

ここでは, 逆フーリエ変換を用いた方法を示す. これもSDKには実装されていないが¹, 参考のために載せておく.

この手法では, フェーズドアレイが2次元平面グリッド上に配置されている場合を考える. また, 焦点もこのアレイに水平な面内に配置されており, アレイ表面から十分離れているとする.

このとき, xy平面上の振動子を添字$u,v$で区別する. すなわち, $$\begin{array}{rl}{\mathbf{r}}_j& =(x_u,y_v,0),\\ {\mathbf{r}}_i& =(x,y,z),\end{array}$$ とする. また, $$\begin{array}{rl}|x_u|,|y_v|& \ll |z|,\end{array}$$ を満たすと仮定する.

この時, $$\begin{array}{rlr}\Vert {\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j\Vert & =\sqrt{(x-x_u{)}^2+(y-y_v{)}^2+z^2}& \\ & =z{\left(\frac{(x-x_u{)}^2}{z^2}+\frac{(y-y_v{)}^2}{z^2}+1\right)}^{\frac{1}{2}}& \\ & \sim z\left(1+\frac{1}{2}\frac{(x-x_u{)}^2}{z^2}+\frac{1}{2}\frac{(y-y_v{)}^2}{z^2}\right)& (\because |x_u|,|y_v|\ll |z|)\\ & =z+\frac{x^2+y^2}{2z}-\frac{x{x}_u+y{y}_v}{z}+\frac{x_u^2+y_v^2}{2z}& \\ & \sim z+\frac{x^2+y^2}{2z}-\frac{x{x}_u+y{y}_v}{z},& \end{array}$$ となる. ここで, 最初の近似をFresnel近似, 最後の近似をFraunhofer近似という. さらに, $$\begin{array}{r}\frac{1}{\Vert {\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j\Vert }\sim \frac{1}{z},\end{array}$$ と近似する. これを近軸近似という.

これらの近似を用いると $$\begin{array}{rl}p(x,y,z)& \sim \sum _{u=0}^{U-1}\sum _{v=0}^{V-1}{a}_{uv}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\varphi }_{uv}}\frac{1}{z}\exp \left[\mathrm{i}k\left(z+\frac{x^2+y^2}{2z}-\frac{x{x}_u+y{y}_v}{z}\right)\right]\\ & =\frac{1}{z}\exp \left[\mathrm{i}k\left(z+\frac{x^2+y^2}{2z}\right)\right]\sum _{u=0}^{U-1}\sum _{v=0}^{V-1}{a}_{uv}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\varphi }_{uv}}\exp \left[\mathrm{i}k\left(\frac{x{x}_u+y{y}_v}{z}\right)\right],\end{array}$$ となる.

最後の総和はフェーズドアレイ表面の振幅位相パターンの2次元離散フーリエ変換にほかならない. したがって, $$\begin{array}{rl}p(x,y,z)z\exp \left[-\mathrm{i}k\left(z+\frac{x^2+y^2}{2z}\right)\right]& \sim \mathcal{F}[a_{uv}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\varphi }_{uv}}].\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\therefore a_{uv}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\varphi }_{uv}}\sim {\mathcal{F}}^{-1}\left[p(x,y,z)z\exp \left[-\mathrm{i}k\left(z+\frac{x^2+y^2}{2z}\right)\right]\right],\end{array}$$ となる.

この場合の計算量は, アレイが$\sqrt{N}\times \sqrt{N}$の正方形だとすると, 2次元FFTを用いて$O(N{\log }_2\sqrt{N})$になる.