多焦点音場再構成

Author: Shun Suzuki

Date: 2024-01-09

本節では, Holo Gainの実装, すなわち, フェーズドアレーを用いた多焦点の音像の再構成手法について述べる.

なお, 本文章では,

1. 各振動子の特性は同一
2. 非線形項は無視できる, すなわち, 音場は個々の振動子が放出したものの重ね合わせになる

という事を仮定する.

定式化

問題の定義は以下となる.

「$M$点の焦点${\mathbf{r}}_i$における音圧の振幅$|p_i|,i=0,1,\dots ,M-1$が与えられたとき, これを出力するような$N$個の振動子の振幅と位相, すなわち, $$\begin{array}{rl}|p_i|& =|(G\mathbf{q}{)}_i|,\\ \mathbf{q}& =[q_0,\dots ,q_{N-1}]{}^{\mathsf{T}},q_j=a_j{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\varphi }_j},\\ G& \in {\mathbb{C}}^{M\times N},\end{array}$$ を満たす$\mathbf{q}$を求めたい. ただし, 振動子の出力$a_j$には上限があり, $|a_j|\le a=const.,\forall j$を満たす.」

ここで, $G$は伝達行列であり, 例えば, 障害物のない状態の球面波を仮定すると, $$\begin{array}{r}{G}_{ij}=\frac{1}{4\pi \Vert {\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j\Vert }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k\Vert {\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j\Vert },\end{array}$$ である. また, $k$は波数, ${\mathbf{r}}_j$は振動子の位置である. なお, 振動項${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}$はすべての振動子で同一と仮定したので無視する.

Sさらに指向性$D(\theta )$と空気による吸収項${\mathrm{e}}^{\alpha \Vert {\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j\Vert }$を考慮して $$\begin{array}{r}{G}_{ij}=\frac{D(\theta )}{4\pi \Vert {\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j\Vert }{\mathrm{e}}^{\alpha \Vert {\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j\Vert }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k\Vert {\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j\Vert },\end{array}$$ とするモデル化もあるが, 本章の議論は本質的に$G$の要素の表記に依らない.

複素数への拡張: 焦点の位相の導入

焦点${\mathbf{r}}_i$における複素音圧の位相を${\psi }_i$とすると, 上式はまとめて $$\begin{array}{rl}\mathbf{p}& =G\mathbf{q},\\ \mathbf{p}& =[p_0,\dots ,p_{M-1}]{}^{\mathsf{T}},p_i=|p_i|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\psi }_i},\end{array}$$ と書ける.

一般的に, 超音波フェーズドアレーによる触覚提示や音響浮遊において, この位相${\psi }_i$は重要でない. 例えば, $40\mathrm{kHz}$の超音波で考えると, 2つの焦点が同位相で振動していたとしても, 逆位相 (すなわち, $12.5\mathrm{us}$のずれ)で振動していたとしても, ヒトの触覚は区別できない. したがって, $\mathbf{q}$に加えて, 焦点の位相${\psi }_i$にも自由度がある.

以下に, この問題の解法をいくつかの分類に分けて論じていく. なお, この分類は筆者の恣意的なものである.

• 空間分割スキーム
• 逆フーリエ変換
• 半正定値緩和法
• 固有値問題と行列方程式
• 逆伝搬法
• 非線形最小二乗法
• 音響パワー最適化法
• 貪欲法